Algorithmic theory of integers - Historia wersji

AndrzejSalwicki o 11:02, 2 paź 2018

2018-10-02T11:02:37Z

AndrzejSalwicki o 10:59, 2 paź 2018

2018-10-02T10:59:21Z

AndrzejSalwicki o 10:42, 2 paź 2018

2018-10-02T10:42:06Z

AndrzejSalwicki o 10:29, 2 paź 2018

2018-10-02T10:29:21Z

AndrzejSalwicki o 10:19, 2 paź 2018

2018-10-02T10:19:18Z

AndrzejSalwicki: Utworzono nową stronę "Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany '''integer''' (lub $Z$ ), razem z niepustym podzbiorem $N$ (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma ope..."

2017-08-08T16:24:30Z

Utworzono nową stronę "Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany '''integer''' (lub <math>Z</math>), razem z niepustym podzbiorem <math>N</math> (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma ope..."

Nowa strona

Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany '''integer''' (lub <math>Z</math>), razem z niepustym podzbiorem <math>N</math> (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma operacjami dwuargumentowymi dodawania i mnożenia, oznaczanymi przez <math>+</math> i <math>\cdot</math>, które spełniają następujące aksjomaty:
* (Przemienność) Dla każdej pary liczb całkowitych <math>a, b</math> zachodzą równości
<math>a+b=b+a\qquad</math> oraz <math>\qquad a\cdot b = b \cdot a</math>,
* (Łączność) Dla każdej trójki liczb całkowitych <math>a,b, c</math> zachodzą równości
<math>(a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad</math> oraz <math>\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)</math>,
* (Rozdzielność) Dla każdej trójki liczb całkowitych zachodzi równość
<math>(a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c</math>
* (Jedności) Istnieją liczby całkowite 0 i 1 takie, że dla każdego <math>a</math> zachodzi równość
<math>a+0=a\qquad </math> oraz <math>\qquad a\cdot 1= a</math>,
* (Domknięcie w <math>N</math>) Jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami całkowitymi nieujemnymi to liczby <math>a+b</math> oraz <math>a\cdot b</math> też są liczbami całkowitymi, nieujemnymi,
* (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math>, istnieje taka liczba całkowita <math>-a</math>, że zachodzi równość
<math> a+-a =0 </math>
* (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math> zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba <math>a</math> jest nieujemna, albo b) liczba <math>a</math> jest zerem <math>a=0</math> albo c) liczba <math>-a</math> jest nieujemna,
* (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.<br />
* (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do <math>N</math>.
c.d.n.

@@ Linia 13: / Linia 13: @@
 * (Trichotomy) For every integer number  <math>a</math> exactly one of three relations holds: either a) number <math>a</math> is non-negative, or b) number <math>a</math> is zero <math>a=0</math> or c) number <math>-a</math> jis non-negative,
 * (Non-negative integers) The set of non-negative integers satisfies the axioms of natural numbers, it is the same set <math>N</math>. See [[Algorithmic_theory_of_natural _numbers]].<br />
-Note algorithmic formula serving as an axiom I.
+Note, axiom S of natural numbers is an  algorithmic formula.
 * (Ordering relation) a < b if and only if the number <math> b+-a </math> belongs to the set   <math>N</math>.

@@ Linia 12: / Linia 12: @@
 <math> a+-a =0 </math>
 * (Trichotomy) For every integer number  <math>a</math> exactly one of three relations holds: either a) number <math>a</math> is non-negative, or b) number <math>a</math> is zero <math>a=0</math> or c) number <math>-a</math> jis non-negative,
-* (Non-negative integers) The set of non-negative integers satisfies the axioms of natural numbers, it is the same set <math>N</math>. See [[Algorithmic_theory_of_natural _numbers ]]<br />
+* (Non-negative integers) The set of non-negative integers satisfies the axioms of natural numbers, it is the same set <math>N</math>. See [[Algorithmic_theory_of_natural _numbers]].<br />
 * (Ordering relation) a < b if and only if the number <math> b+-a </math> belongs to the set   <math>N</math>.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-Integer numbers form a set, usually denoted  '''integer''' (or <math>Z</math>). The set contains a non-empty subset  <math>N</math> (of natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted,  <math>+</math> i <math>\cdot</math>. These operations fulfill the following axioms:
+Integer numbers form a set, usually denoted  '''integer''' (or <math>Z</math>). The set contains a non-empty subset  <math>N</math> (of non-negative integer numbers  ''aka'' natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted,  <math>+</math> i <math>\cdot</math>. These operations fulfill the following axioms:
 * (Commutativity) For every pair of integer numbers   <math>a, b</math> the following equalities hold
 <math>a+b=b+a\qquad</math>  and <math>\qquad a\cdot b = b \cdot a</math>,
@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 <math>a+0=a\qquad </math>   and   <math>\qquad a\cdot 1= a</math>,
 * (Closure in  <math>N</math>) If <math>a</math> and <math>b</math> are non-negative integer numbers then numbers  <math>a+b</math> and <math>a\cdot b</math> are also non-negative integer numbers,
-* (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math>, istnieje taka liczba całkowita <math>-a</math>, że zachodzi  równość
+* (Additive inverse) For every integer number  <math>a</math>, exists integer number  <math>-a</math>, such that the following equality holds
 <math> a+-a =0 </math>
-* (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math> zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba <math>a</math> jest nieujemna, albo b) liczba <math>a</math> jest zerem <math>a=0</math> albo c) liczba <math>-a</math> jest nieujemna,
+* (Trichotomy) For every integer number  <math>a</math> exactly one of three relations holds: either a) number <math>a</math> is non-negative, or b) number <math>a</math> is zero <math>a=0</math> or c) number <math>-a</math> jis non-negative,
-* (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.<br />
+* (Non-negative integers) The set of non-negative integers satisfies the axioms of natural numbers, it is the same set <math>N</math>. See [[Algorithmic_theory_of_natural _numbers ]]<br />
-* (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do <math>N</math>.
+* (Ordering relation) a < b if and only if the number <math> b+-a </math> belongs to the set   <math>N</math>.
-c.d.n.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany '''integer''' (lub <math>Z</math>), razem z niepustym podzbiorem <math>N</math> (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma operacjami dwuargumentowymi dodawania i mnożenia, oznaczanymi przez <math>+</math> i <math>\cdot</math>, które spełniają następujące aksjomaty:
+Integer numbers form a set, usually denoted  '''integer''' (or <math>Z</math>). The set contains a non-empty subset  <math>N</math> (of natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted,  <math>+</math> i <math>\cdot</math>. These operations fulfill the following axioms:
 * (Commutativity) For every pair of integer numbers   <math>a, b</math> the following equalities hold
 <math>a+b=b+a\qquad</math>  and <math>\qquad a\cdot b = b \cdot a</math>,
@@ Linia 6: / Linia 6: @@
 * (Distributivity) For every triplet of integer numbers the following equality holds
 <math>(a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c</math>
-* (Jedności) Istnieją liczby całkowite 0 i 1 takie, że dla każdego  <math>a</math> zachodzi  równość
+* (Units) There exist integer numbers  0 i 1 such that, for every   <math>a</math> the following equalities hold
-<math>a+0=a\qquad </math>   oraz   <math>\qquad a\cdot 1= a</math>,
+<math>a+0=a\qquad </math>   and   <math>\qquad a\cdot 1= a</math>,
-* (Domknięcie w <math>N</math>) Jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami całkowitymi nieujemnymi to liczby <math>a+b</math> oraz <math>a\cdot b</math> też są liczbami całkowitymi, nieujemnymi,
+* (Closure in  <math>N</math>) If <math>a</math> and <math>b</math> are non-negative integer numbers then numbers  <math>a+b</math> and <math>a\cdot b</math> are also non-negative integer numbers,
 * (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math>, istnieje taka liczba całkowita <math>-a</math>, że zachodzi  równość
 <math> a+-a =0 </math>